Distribución uniforme

\begin{equation} F(x)=P(X<x),\qquad\text{c.d.f} \end{equation}



In [6]:

    
punif(0.3,0,1) #P(x<=x)









    Out[6]:





[1] 0.3

\begin{equation} f(x)=F'(x),\qquad \text{p.d.f} \end{equation}



In [9]:

    
dunif(0.3,0,1)









    Out[9]:





[1] 1



In [12]:

    
curve(dunif, from = -1, to = 2)

Simular n=10000 valores



In [22]:

    
u <- runif(10000,0,1)

\begin{equation} E[x]=\int_\infty^\infty x f(x)\,dx \end{equation}



In [29]:

    
mean(u)









    Out[29]:





[1] 0.4984739

\begin{equation} V[x]=\int_\infty^\infty (x-E[x])^2 f(x)\,dx=E[x^2]-E[x]^2 \end{equation}



In [78]:

    
1/12









    Out[78]:





[1] 0.08333333



In [30]:

    
var(u)









    Out[30]:





[1] 0.08259972

\begin{equation} \sigma=\sqrt{V[x]} \end{equation}



In [31]:

    
sd(u)









    Out[31]:





[1] 0.2874017

Distribución binomial

Para una distribución discreta, la probabilidad de tener un valor $X=k$ es \begin{align} P(X=k)=f(k;\text{parameters}) \end{align} En particular la distribución minomial es \begin{align} P(X=k)=B(k;n,p)=\begin{pmatrix} n\\ k\\ \end{pmatrix}p^k (1-p)^{n-k}\,, \end{align} donde $B(k;n,p)$ es la p.d.f



In [33]:

    
n <- 8
p <- 0.15
barplot(dbinom(0:n,n,p), names.arg=0:n)

Ejemplo: Un exámen de escogencia múltiple tiene $n=10$ preguntas con 4 escogencias cada una. Si un estudiante adivina cada una de las preguntas, ¿cual es la posibilidad que acierte $k$ preguntas?

En este caso $p=1/4$ y \begin{align} P(X=k)=B(k;10,1/4)=\begin{pmatrix} 10\\ k\\ \end{pmatrix}\left(\frac{1}{4}\right)^k \left(1-\frac{1}{4}\right)^{10-k} \end{align}

(See http://www.statmethods.net/graphs/bar.html)



In [80]:

    
n <- 10
p <- 0.25
barplot(dbinom(0:n,n,p), names.arg=0:n)



In [81]:

    
dbinom(2,n,p)









    Out[81]:





[1] 0.2815676

En el caso discreto: \begin{equation} F(x;n,p)=P(X\le x),\qquad\text{c.d.f} \end{equation} La probabilidad de que un estudiante tenga al menos dos preguntas correctas, \begin{align} P(X\ge 2)=1-P(X\le 1) \end{align}



In [41]:

    
1-pbinom(1,n,p)









    Out[41]:





[1] 0.7559748

Ejemplo: En un bosque de 100 árboles, cada árbol tiene un 10% de posibilidades de estar infectado por una enfermedad de las raices independientemente de los otros árboles. ¿Cual es la probabilidad de que más de 5 árboles esten infectados?



In [43]:

    
n <- 100
p <- 0.10
1-pbinom(5,n,p)









    Out[43]:





[1] 0.9424231

Se puede usar rbinom para simular la probabilidad $P(X>5)$ basados en 10,000 repeticiones:



In [66]:

    
i <- 10000
simlist <- rbinom(i,n,p)
sum(simlist>5)/i









    Out[66]:





[1] 0.9421

Propiedades

Normalización \begin{align} \sum_{k=0}^n B(k;n,p)=\left[p-(1-p)\right]^n=1 \end{align}

\begin{align} E[x]=\sum_{k=0}^n k B(k;n,p)=np \end{align}



In [67]:

    
n*p









    Out[67]:





[1] 10



In [68]:

    
mean(simlist)









    Out[68]:





[1] 9.9673

\begin{equation} V[k]=E[k^2]-E[k]^2=np(1-p) \end{equation}



In [74]:

    
n*p*(1.-p)









    Out[74]:





[1] 9



In [70]:

    
var(simlist)









    Out[70]:





[1] 8.904521

\begin{equation} \sigma=\sqrt{V[x]} \end{equation}



In [71]:

    
sd(simlist)









    Out[71]:





[1] 2.984044

Precisión \begin{align}\frac{\sigma}{E[x]}\end{align}



In [77]:

    
sqrt(n*p*(1.-p))/(n*p)









    Out[77]:





[1] 0.3



In [73]:

    
sd(simlist)/mean(simlist)









    Out[73]:





[1] 0.2993834

Ejemplo: Cual es la probabilidad de obtener 450 caras de 1000 lanzamientos de una moneda?



In [1]:

    
n <- 1000
p <- 0.5
pbinom(450,n,p)









    Out[1]:





[1] 0.000865268



In [4]:

    
n <- 1000
p <- 0.5
barplot(dbinom(400:600,n,p), names.arg=400:600)

Distribución de Poisson

Distribución de Poisson para nacimientos por día en Colombia en 2013



In [19]:

    
n <- 1300
l <- 1179
barplot(dpois(1050:n,l), names.arg=1050:n)

La probabilidad de que haya 1180 nacimientos mañana en Colombia es



In [20]:

    
sqrt(l)









    Out[20]:





[1] 34.33657



In [11]:

    
dpois(1180,l)









    Out[11]:





[1] 0.01160792

La probabilidad de que haya 1000 nacimientos mañana en Colombia es



In [12]:

    
dpois(1000,l)









    Out[12]:





[1] 7.515653e-09

Muertos por brigrada



In [15]:

    
n <- 5
l <- 0.61
barplot(dpois(0:n,l), names.arg=0:n)



In [16]:

    
barplot(dpois(0:n,l)*200, names.arg=0:n)



In [17]:

    
dpois(0:n,l)*200









    Out[17]:





[1] 108.67017381  66.28880603  20.21808584   4.11101079   0.62692915
[6]   0.07648536

Ditribución Gaussiana (Normal)

Parámetros por defecto: $\mu=0$ y $\sigma=1$



In [10]:

    
curve(dnorm, from = -4, to = 4)



In [11]:

    
x   <- seq(-4,4,length=1000)
plot(x,dnorm(x,mean=0, sd=1), type="l", lwd=1)

Las probabilidades de una variable aleatoria con una distribución normal este dentro de uno, dos y tres desviaciones de la media puede calcularse para $x=1,2,3$ con $\mu=0$ y $\sigma=1$



In [12]:

    
pnorm(1)-pnorm(-1)









    Out[12]:





[1] 0.6826895



In [13]:

    
pnorm(2)-pnorm(-2)









    Out[13]:





[1] 0.9544997

Evidencia:



In [14]:

    
pnorm(3)-pnorm(-3)









    Out[14]:





[1] 0.9973002

Descubrimiento



In [66]:

    
1-(pnorm(5)-pnorm(-5))









    Out[66]:





[1] 5.733031e-07

Ejemplo: Pesos de recien nacidos



In [21]:

    
x   <- seq(1500,5300,length=1000)
mu <- 3400
sigma <- 570
plot(x,dnorm(x,mu, sigma), type="l", lwd=1)

¿Cual es la probabilidad de que nazca más pesado que 4 Kg?



In [22]:

    
1-pnorm(4000,mu, sigma)









    Out[22]:





[1] 0.1462549



In [23]:

    
1-pnorm( (4000-mu)/sigma)









    Out[23]:





[1] 0.1462549

Se han registrado nacimiemtos por parto natural de bebes de 6.11 Kg. ¿Cual es la proababilidad?



In [27]:

    
1.-pnorm(6000,mu, sigma)









    Out[27]:





[1] 2.540641e-06



In [28]:

    
1.-pnorm(7000,mu, sigma)









    Out[28]:





[1] 1.343928e-10

A 2002 han nacido en la tierra $106\;456\;367\;669$ personas (Fuente: Estimaciones del Population Reference Bureau. http://www.prb.org/). ¿Cual es el niño más pesado que ha nacido hasta entonces?



In [29]:

    
1/106456367669









    Out[29]:





[1] 9.39352e-12



In [54]:

    
1.-pnorm(7228,mu, sigma)









    Out[54]:





[1] 9.352519e-12

Límite binomial



In [55]:

    
n <- 4
p <- 0.1
barplot(dbinom(0:n,n,p), names.arg=0:n)



In [58]:

    
n <- 25
nmax <-10
p <- 0.1
barplot(dbinom(0:nmax,n,p), names.arg=0:nmax)



In [60]:

    
n <- 500
nmin=25
nmax <-80
p <- 0.1
barplot(dbinom(nmin:nmax,n,p), names.arg=nmin:nmax)

Probabilidad de obtener entre 90 y 110 cuatros en 600 tiradas de un dado:



In [61]:

    
mu <- 100  
sigma <- sqrt(500/6)
pnorm(110,mu,sigma)-pnorm(90,mu,sigma)









    Out[61]:





[1] 0.7266783



In [65]:

    
pnorm((110-mu)/sigma)-pnorm((90-mu)/sigma)









    Out[65]:





[1] 0.7266783



In [46]:

    
#\left(\right)
#\begin{align}\end{align}